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Funciones Trigonometricas_Seno y Coseno

Notapor tonysabe » 10 Abr 2011 01:58

Para graficar las funciones Seno y Coseno, necesitamos conocer unos fundamentos básicos como la Amplitud, el Periodo, el Angulo de Fase y el desplazamiento vertical de ellas, pero tambien necesatamos conocer como graficar las funciones " basicas " Seno y Coseno, ya que todas seran graficadas a partir de estas.

Para saber como se han calculado los valores de las funciones básicas, les dire que para :

Y = Seno x

Cuadno X = 0° Y = 0
Cuadno X = 90° Y = 1
Cuadno X = 180° Y = 0
Cuadno X = 270° Y = -1
Cuadno X = 360° Y = 0

Para Y = Conseno x

Cuadno X = 0° Y = 1
Cuadno X = 90° Y = 0
Cuadno X = 180° Y = -1
Cuadno X = 270° Y = 0
Cuadno X = 360° Y = 1

Amplitud

La Amplitud es la separación máxima a la que una particula pueda separarse de la posicion de equilibrio. Esto significa que en una onda, es la distancia que va desde el eje " x " hasta los puntos mas alejados en dirección vertical.

En una función, por en los ejemplos que veran, la Amplitud es el coediciente que está adelante, asi :

Y = 2.Seno ( x ) Aqui el " 2 " es la Amplitud.

Y = - Coseno ( x ) Aqui el " - 1 " es la Amplitud.

Y = 1/2 . Seno ( x ) Aqui el " 1/2 " es la Amplitud.

En que influye la amplitud ??

Con respecto a la función base, o sea la funcion Seno (x) o Coseno (x) lo hace es elevar o achicar los máximo o los mínimos, pero los puntos nulos, o sea aquellos en que la función corta al eje " x " pemanecen en el mismo lugar.

Veamos unos ejemplos gráficos :
Imagen


Ahora veremos sobre el Periodo de una función Seno y Coseno.

El Periodo es el tiempo en que una particula produce un ciclo y vamos a considerar que un ciclo es un giro o vuelta a una circunferencia.

Entonces, mientras mayor sea el ciclo, mayor tiempo usará la particula para dar una vuelta y recuerden que una vuelta en radianes significa 2.Pi ( 6,28.. ).

Esto es, si una función, cuyo periodo sea 2.Pi, da un giro en un tiempo de determinado y una funcion del mismotipo, pero cuyo periodo sea de la mitad, o sea de Pi, irá mas rapido y dará una vuelta en la mitad del tiempo.

Como sabemos en una gráfica cuando la particula empieza a dar una nueva vuelta ??

Bueno, cuando vean que la funcion se empieza a repetir, ese es cuando la particula empieza a dar una nueva vuelta.

La separació entre esos dos puntos, en que la función se empieza a repetir, es el periodo.

Y como calcular el Periodo ??
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Re: Funciones Trigonometricas_Seno y Coseno

Notapor tonysabe » 10 Abr 2011 02:12

Asi :

En una funcion, por ejemplo Y = Seno ( 2.x ) el periodo " T " se calcula dividiendo a 2.Pi por el coeficiente del argumento " x "

T = 2.Pi / 2 = Pi

Si la función fuera Y = Coseno ( x ) el periodo seria T = 2.Pi / 1 = 2.Pi

Si la función fuera Y = Seno ( 0,5 x ) el perido seria T = 2.Pi/ 0,5 = 4.Pi

Veamos unos ejemplos gráficos :
Imagen


Ahora veremos el Angulo de Fase ( lo llamaremos " & " )

Lo que hace el Angulo de Fase, es desplazar la función (UNA VEZ MODIFICADO SU PERIODO, CON RESPECTO A LA FUNCION ORIGINAL SENO (X) O COSENO (X) ) y este desplazamiento es horizontal.

Se calcula asi :

Lo haremos con la formula & = - C / B

En una funcion, por ejemplo Y = Seno ( 2.x- Pi )

Donde " B " es el coediciene de la " x " y " C " es el término independiente del argumento, o sea en ese caso " - Pi " el ángulo de fase es :

& = - ( - Pi ) / 2

En la función Y = Coseno ( 3.x + Pi/2 ) el ángulo de fase es :

& = - ( Pi/2 ) / 3 = - Pi / 6

Veamos un ejemplo gráfico, partiendo de la función base Y = Seno ( x )

Graficamos primero esta función base (en amarillo) y luego (en celeste) la funcion Y = Seno (2.x) cuyo período será la mitad de la anterior (la particula va mas rápido). Posteriormente (en .. digamos rojo) la función desfazada o desplazada Y = Seno ( 2.x -Pi ) cuyo ángulo de fase es & = - ( - Pi ) / 2 = Pi / 2
Imagen

Ahora veremos ejemplos de funciones Seno y Coseno, en donde veran como varia la función base o primaria segun cambian el Periodo, el Angulo de Fase, la Amplitud y el Desplzamiento Vertical (este no fué explicado en particular, porque es bastante intuitivo o facil de entender)

Nota : Recuerden que la función base o primaria son Seno (x) y Cseno (x) las cuales se modificaran (si es el caso) segun el Periodo, Angulo de Fase, Amplitud y Desplazamiento Vertical segun casa ejemplo :

Toda función a graficar tendrá la forma siguiente :

Y = A . Seno o Coseno ( B . X + C ) + D

Donde " A " Es la Amplitud.

" B " el coeficiente del argumento "X" que se usará tanto en el Periodo como en el Angulo de Fase o desplazamiento Horizontal.

" C " el termino independiente del argumento, que influirá en el Angulo de Fase.

" D " este termino independiente de la función nos dará el desplazamiento Vertical.

Primer ejemplo :

Y = 2. Seno ( 2.x - Pi )

Aqui A = 2, B = 2, C = - Pi y D = 0

El Perido es T = 2.Pi / B = 2.Pi / 2 = Pi

El Angulo de Fase es & = - ( C ) / B = - ( - Pi ) / 2 = Pi / 2

Entonces, primero se grafica la función base Y = Seno ( x ) en linea de puntos en celeste en este caso (ver gráfico abajo).

Luego modificamos la función base con el periodo, que para esta nueva función es Pi y se transforma en la gráfica en color verde.

Luego se la desplaza a esta última función, hacia la drerecha (función en rojo), un valor " Pi " que es el Angulo de Fase.

Por último, se procede a multiplicar cada punto de esta última función por el valor " 2 " que es la Amplitud, pero obviamente, al no poder multiplicar los infinitos puntos, se lo hace con los puntos máximos, mínimo y nulos (estos permanecen donde estan, ya que 2 por cero es cero) y queda la función definitiva o final en color azul.

Veamos el graficó de esto :
Imagen

Otro ejemplo, la función Y = (3/2).coseno ( x - pi/2 ) + 1
Imagen

Oro ejemplo : Y = seno ( 2x + pi ) - 1

Imagen

Y otro ejemplo mas con la función Y = coseno ( 2x - pi/4) + 1

Imagen
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